Bezier 曲线曲面绘制

Bernstein 基函数

在 Weierstrass 第一定理的构造性证明中，证明的关键是利用 Bernstein 基函数. 下面将介绍 Bernstein 基函数在计算几何中的应用，这类基函数具有“几何直观”的优良性质.

n 次多项式 Bernstein 基函数为

$$B_i^n(t)={(}_i^n)t^i(1-t{)}^{n-i},i=0,1,...,n$$

其中${(}_i^n)=\frac{n!}{i!(n-i)!},i=0,1,...,n.$

举例：$n=3$时，三次 Bernstein 多项式为

$$B_0^3(t)=(1-t{)}^3,B_1^3(t)=3t(1-t{)}^2,B_2^3(t)=3t^2(1-t),B_3^3(t)=t^3.$$

对应图形如图所示.

基本性质

• 非负性. $B_i^n(t)\ge 0,t\in [0,1].$
• 单位分解性. $\sum _{i=0}^n{B}_i^n(t)=(t+(1-t){)}^n=1.$
• 端点性质. 在端点$t=0,t=1$，分别只有一个 Bernstein 基函数取值为 1，其余全部为 0，即

$$B_i^n(0)={\{}_{0,i\ne 0,}^{1,i=0,}{B}_i^n(1)={\{}_{0,i\ne n.}^{1,i=n,}$$

• 对称性. $B_i^n(t)=B_{n-i}^n(1-t),i=0,1,...,n。$

• 递推公式. 每一个 n 次 Bernstein 基函数可以由两个 n-1 次 Bernstein 基函数递推得到，即

  $$B_i^n(t)=(1-t)B_i^{n-1}(t)+t{B}_{i-1}^{n-1}(t),i=0,...,n.$$

• 最大值. $n\ge 1$时，Bernstein 基函数$B_i^n(t)$在$t=\frac{i}{n}$处取得唯一最大值.

• 积分等值性. 所有 n 次 Bernstein 基函数在$[0,1]$上积分值相等.

$${\int }_0^1{B}_i^n(t)dt=\frac{1}{n+1},i=0,1,...,n.$$

Bezier 曲线

定义

称参数曲线段

$$P(t)=\sum _{i=0}^n{P}_i{B}_i^n(t),t\in [0,1],$$

为一条 n 次Bezier 曲线，其中$B_i^n(t)$为 n 次 Bernstein 基函数，空间向量**$P_i\in R^3$称为控制顶点，依次用直线段连接相邻两个控制顶点得到的 n 边折线多边形称为控制多边形.**

实例代码

对于控制顶点

$$P_0=(0,0),P_1=(1,2),P_2=(2,-1),P_3=(3,1)$$

平面上的三次 Bezier 曲线方程为

$$P(t)=\sum _{i=0}^3{P}_i{B}_i^n(t)=(3t,10t^3-15t^2+6t)$$

x=[0,1,2,3];
y=[0,2,-1,1];
n=length(x)-1;
xx=0;yy=0;
syms t
for k=0:n
    B=nchoosek(n,k)*t^k*(1-t)^(n-k);
    xx=xx+x(k+1)*B;
    yy=yy+y(k+1)*B;
end
xx=collect(xx);
yy=collect(yy);
fprintf('三次Bezier曲线方程为：x(t)=%s,y(t)=%s\n',xx,yy);
t1=linspace(0,1);
xx1=subs(xx,t,t1);
yy1=subs(yy,t,t1);
figure();
plot(x,y,'g*','markersize',10);
line(x,y,'color',[0 0 1])
hold on
plot(xx1,yy1,'r-')
hold off

控制顶点用绿色*标注，控制多边形设置为蓝色，Bezier 曲线为红色，结果如图所示.

张量积型 Bernstein 基函数

对 m 次与 n 次一元 Bernstein 基函数

$$\{B_i^m(u){\}}_{i=0}^m,\{B_j^n(v){\}}_{j=0}^n,$$

张量积型$m\times n$次二元 Bernstein 基函数为

$$B_{i,j}^{m,n}(u,v)=B_i^m(u)B_j^n(v),i=0,1,...,m,j=0,1,...,n.$$

这$(m+1)\times (n+1)$个多项式线性无关，从而构成二元多项式空间的一组基.

Bezier 曲面

定义

参数曲面

$$P(u,v)=\sum _{i=0}^m\sum _{j=0}^n{P}_{i,j}{B}_{i,j}^{m,n}(u,v),(u,v)\in [0,1]\times [0,1]$$

为$m\times n$次 Bezier 曲面，其中$B_{i,j}^{m,n}(u,v)$为张量积型 Bernstein 基函数，空间向量$P_{i,j}\in R^3$称为控制顶点，$i=0,1,...,m,j=0,1,...,n.$依次用直线段连接同行同列相邻两个控制顶点得到$m\times n$边折线网格称为控制网格.

实例代码

对于给定控制顶点

$$\begin{gathered} P_{0,0}=(0,0,1),P_{0,1}=(0,1,2),P_{0,2}=(0,2,1), \\ {P}_{1,0}=(1,0,2),P_{1,1}=(1,1,2.5),P_{1,2}=(1,2,2), \\ {P}_{2,0}=(2,0,1),P_{2,1}=(2,1,2),P_{2,2}=(2,2,1). \end{gathered}$$

绘制$2\times 2$次 Bezier 曲面

$$P(u,v)=\sum _{i=0}^2\sum _{j=0}^2{P}_{i,j}{B}_i^2(u)B_j^2(v),(u,v)\in [0,1]\times [0,1].$$

%控制顶点
Px=[0,0,0;1,1,1;2,2,2];
Py=[0,1,2;0,1,2;0,1,2];
Pz=[1,2,1;2,2.5,2;1,2,1];
figure();
plot3(Px,Py,Pz,'r','linewidth',2);
hold on
plot3(Px',Py',Pz','r','linewidth',2);
hold on
plot3(Px,Py,Pz,'g.','markersize',20,'linewidth',2);
hold on
a=0;b=1;
N=10;M=10;
hx=(b-a)/N;
hy=(b-a)/M;
x=(a:hx:b)';
y=(a:hy:b)';
n=2;m=2;
[x,y]=meshgrid(x,y);
PX=zeros(N+1,M+1);
PY=zeros(N+1,M+1);
PZ=zeros(N+1,M+1);
for i=1:n+1
    for j=1:m+1
        PX=PX+Px(i,j)*nchoosek(n,i-1).*(x.^(i-1)).*((1-x).^(n-i+1)).*nchoosek(n,j-1).*(y.^(j-1)).*((1-y).^(n-j+1));
        PY=PY+Py(i,j)*nchoosek(n,i-1).*(x.^(i-1)).*((1-x).^(n-i+1)).*nchoosek(n,j-1).*(y.^(j-1)).*((1-y).^(n-j+1));
        PZ=PZ+Pz(i,j)*nchoosek(n,i-1).*(x.^(i-1)).*((1-x).^(n-i+1)).*nchoosek(n,j-1).*(y.^(j-1)).*((1-y).^(n-j+1));
    end
end
surf(PX,PY,PZ)

控制顶点用绿色点标注，控制网格设置为红色，结果如图所示.